Reeds-Shepp 曲线与 Dubins 曲线是平面内连接指定位姿的两点之间、满足曲率约束的最短路径曲线在路径规划Path Planning领域广泛应用。特性Dubins 曲线Reeds-Shepp 曲线提出年份1957 年1990 年运动方向仅允许前进单向允许前进和后退双向路径类型数6 种48 种后简化为 46 种路径段数最多 3 段最多 5 段最短路径通常更长运动受限通常更短可后退优化典型应用无人机、固定翼飞行器自动泊车、仓储机器人碰撞容错存在无碰撞路径时不一定有 Dubins 无碰撞路径存在无碰撞路径时一定存在 RS 无碰撞路径关于 Reeds-Shepp 路径类型数量的说明不同资料记载有48、46或44种。最新资料指出有44种运动类型组合另有资料提到Reeds-Shepp基础曲线类型有五种。早期的48种中已有2种被证明冗余剩余46种。作为基础记忆48种是常见的原始表述。1、车辆运动模型两者的基础车辆模型基本一致通常使用简单汽车模型Simple Car Modelx˙vcos⁡θy˙vsin⁡θθ˙vLtan⁡ϕ \dot{x} v \cos \theta \\ \dot{y} v \sin \theta \\ \dot{\theta} \frac{v}{L} \tan \phix˙vcosθy˙​vsinθθ˙Lv​tanϕ其中(x,y)(x, y)(x,y)为车辆位置θ\thetaθ为航向角vvv为速度LLL为轴距ϕ\phiϕ为前轮转向角。曲率κ\kappaκ受限于κmax1/ρmin\kappa_{\text{max}} 1/\rho_{\text{min}}κmax​1/ρmin​即车辆存在一个最小转弯半径ρ\rhoρ。Reeds-Shepp 的运动模型增加了一个方向控制变量u1∈{−1,1}u_1 \in \{-1, 1\}u1​∈{−1,1}表示前进或后退x˙u1cos⁡θy˙u1sin⁡θθ˙u1⋅u2(其中 u2∈[−tan⁡ϕmax,tan⁡ϕmax]) \dot{x} u_1 \cos \theta \\ \dot{y} u_1 \sin \theta \\ \dot{\theta} u_1 \cdot u_2 \quad (\text{其中 } u_2 \in [-\tan \phi_{\text{max}}, \tan \phi_{\text{max}}])x˙u1​cosθy˙​u1​sinθθ˙u1​⋅u2​(其中u2​∈[−tanϕmax​,tanϕmax​])2 、路径描述与分类2.1、运动基元Motion Primitives两种曲线都由以下基本动作组成其中 Reeds-Shepp 额外区分了前进与后退符号含义符号含义S(Straight)直线运动L(Left)左转圆弧R(Right)右转圆弧L⁺左转前进L⁻左转后退R⁺右转前进R⁻右转后退S⁺直线前进S⁻直线后退2.2、Dubins 路径类型Dubins 证明了最短路径不会超过3个运动基元并可分为两大族族包含类型CSC 族圆弧-直线-圆弧LSL, RSR, LSR, RSLCCC 族圆弧-圆弧-圆弧LRL, RLR2.3、Reeds-Shepp 路径类型Reeds-Shepp 路径最多5段基础形式更为复杂。其基础词主要包括基础词路径形式CSC圆弧 直线 圆弧CCC圆弧 圆弧 圆弧CCCC四段圆弧组合CCSC圆弧 圆弧 直线 圆弧CSCS等其他组合形式通过在基础词中加入方向符号共展开为48 种具体组合。这些组合分为CCC、CSC 和 CCSCC三大类。3、理论基础Dubins (1957年)证明了最短路径必为6 种类型之一。Reeds Shepp (1990年)证明了可后退汽车的48 种路径词包含所有最优解。Sussman Tang后续将 RS 路径精炼为46 种有效组合。两者均体现了庞特里亚金极大值原理时间最优路径均由最大曲率弧段和直线段构成呈现bang-bang 控制特性。4、计算方法与算法核心目标计算连接起点qIq_IqI​和终点qGq_GqG​的最小路径长度。4.1、求解流程位姿归一化计算相对位姿简化问题。候选路径生成枚举所有可能的路径类型组合。长度计算为每种组合计算具体的弧长和线段长度。最优选择从所有可行路径中选出总长度最短的那一条。4.2、分类简化现代实现常利用对称性和分区方案来减少计算量而非直接枚举所有组合。对于 Reeds-Shepp 曲线可利用对称性将 48 种组合化简例如只需推导L⁺S⁺R⁺其他 CSC 类型可通过对称变换得到从而降低编码工作量。5、几何结构与特性曲率约束所有弧段曲率≤κmax\leq \kappa_{\text{max}}≤κmax​。长度计算路径总长为各段弧长与直线段长度之和。Dubins 闭集6 种路径构成了一个有限闭集保证最优路径一定在其中。对称性利用对称变换如时间翻转、反射变换、反向变换可以极大地简化路径的生成和分析。RS 的复杂性Reeds-Shepp 状态空间的复杂分区使得实时选择最短路径词比 Dubins 更具挑战性。6、应用场景自动驾驶/机器人RS 曲线广泛用于自动泊车因为倒车是必要操作。无人机 (UAV)Dubins 曲线常用于固定翼无人机因为其不能悬停或倒飞。采样规划作为局部规划器生成符合车辆动力学的平滑路径。矿区自动驾驶基于 Dubins 曲线提出无碰撞、平滑的局部路径规划方法。农业与环境监测用于非完整约束机器人在狭窄通道中的导航。7、对比分析可达性RS 可达集更大可完成更紧凑的机动如泊车。Dubins 则无法到达某些需要倒车才能进入的区域。路径长度RS 路径长度 ≤ Dubins 路径长度实验验证允许倒车可显著缩短距离。计算成本RS 曲线候选集更大46 vs 6计算成本更高但通过对称性技巧可有效缓解。障碍物环境在存在障碍物时起点和终点间存在无碰撞路径RS 曲线仍一定存在无碰撞的版本但 Dubins 曲线不一定存在。度量性质Dubins 距离不对称d(A,B)≠d(B,A)d(A,B) \neq d(B,A)d(A,B)d(B,A)RS 距离是对称的。8、局限性与扩展非完整约束两者均为具有最小转弯半径的非完整约束模型。障碍物问题标准模型假设为无障碍物环境有障碍物时需与搜索算法如混合A*结合使用。曲率连续性两者在分段连接处曲率不连续可能导致车辆需要原地转向产生了对连续曲率曲线如回旋曲线/CC Steer的研究。动力学扩展出现考虑环境流风/洋流的 Dubins 路径规划以及可变半径的 Reeds-Shepp 曲线以适应复杂场景。9、实际案例与实现OMPL/ROSompl::base::DubinsStateSpace和ompl::base::ReedsSheppStateSpace中提供了成熟的实现可直接作为状态空间的距离函数State Space Distance。MATLAB提供reedsSheppConnection函数。PythonPyPI 上的reeds-shepp和dubins包提供了开箱即用的解决方案。10、总结Reeds-Shepp 曲线与 Dubins 曲线是解决平面内两点之间受曲率约束的最短路径问题的经典方法两者核心对比如下Dubins 曲线1957是单向运动的经典基础以有限6种类型高效生成最短路径在固定翼无人机等无法倒车的场景中具有重要应用价值。Reeds-Shepp 曲线1990通过允许双向运动倒车实现了更优路径虽然候选路径类型增至46-48种计算复杂度更高但在自动泊车等需要倒车操作的场景中不可或缺。两者为现代机器人运动规划奠定了坚实的数学基础。尽管在连续曲率和障碍物处理上存在局限但通过与搜索算法的结合如混合A*以及连续曲率平滑后处理它们至今仍是采样规划器等复杂系统中最常用的局部规划器之一。