年前只更新了极限章节继续本专栏的第二章导数与微分本章节实际上就是围绕三个重点之间的关系考察连续、可导、可微。导数本质上是一个极限为什么要取这个极限结合几何意义为了刻画某点处的斜率就要无限趋近于这一点。一般来说常见的导数定义式有下列三种上述极限存在就说明该点处可导。在一元函数中可导和可微是相互等价的该点处可导说明该点处可微。先回顾什么是微分微分是函数变化的线性主部用来近似计算函数值的微小变化。直接来看图说明这个非常经典且基础在x0处切线的垂直截距用来代替函数的变化量这就是微分的几何意义也即图中的dy。可导研究的是瞬时变化率而可微研究的是在这个变化率下再过一小段后因变量的增量估计也即dy即对变化量的线性近似。从几何上还是非常容易看出来微分满足公式还有等价写法此处的A突出强调了线性主部这个概念即其为一个常数与自变量改变量也即dx相乘构成线性主部忽略了实际增量中x的高阶无穷小部分。而这个A实际上也即该点处的斜率也即该点处的导数。如果导数存在这个微分式就成立。从几何的角度非常明了为什么在一元函数的范畴下可导与可微可以互推。严谨理解看下列AI回答提前扩展一下有关微元法的内容即便这部分在物理应用那一章更多一般直接用dy代替了列式子中的。因为微元强调极小的自变量变化也即此时微分对应切线上纵坐标的改变量即dy。直白的说那一章节里面的公式和dy等价。下面来看具体的题型图签一.计算导数1.导数定义熟记上面的三种导数定义式列出式子后本质上是在求解极限。2.现有公式一些常见的比如sinx、cosx的导数我们可以直接记住公式这在高中就涉及比较简单。这里罗列几个用导数定义推导的例子3.复合函数求导外层求导后内层同样要求导。4.隐函数求导类似待定系数法将没法写出具体形式的导数用未知数代替比如这种写法。5.参数方程求导已知则有一阶导二阶导对于二阶导的公式要合理记忆和选用别记错。6.变限积分求导注意上下限均为有关求导变量函数的情况变限积分对x求导结果应该是但考研中更爱考那种变量杂糅的形式比如这时要采用换元来分离变量详细内容在定积分章节总结。7.高阶导数a.归纳得出的现成公式考研中一般考察常见几种函数的高阶导因此公式一定要记牢b.两项相乘利用莱布尼茨法则8.泰勒公式法求解各阶导数一般用公式反解出该点的n阶导数值具体看例题求解0处的10阶导数x0时有泰勒展开式整理多项式对标两式本质相同因此系数相同所以有两式恒等是解题的关键本质上是在题干给出的式子上再多来一个对应阶数的阶乘。9.反函数求导26数二考察了反函数二阶导这个公式不能不会。假设yf(x)在某个区间严格单调保证反函数存在有即倒数关系即公式不要抱有侥幸心理一定要背会。10.极坐标求导本质上还是参数方程求导在一般的极坐标代换下又因为r是的函数因此可以将r用表示最后x和y都是关于的函数利用参数方程求导即可。11.其他技巧此处待定相对来说求导的类型还是比极限少一些。二.有关可导性充要条件的互推与判别也即所谓的导数定义题、导数概念题。属于考卷中有区别度的难题这部分目前没有什么性价比的合理套路。三.方程做变量替换的化简过去的数二真题有过几次考察这里以两个最经典的题目为例a.用化简人家让干嘛咱们就干嘛显然是要用新的变量t代换掉旧的x现在已经给出了x和t的对应关系那么我们只需要找出y的一阶导和二阶导与t的关系即可代换上述涉及到反函数求导的子母对调。至于二阶导显然就是一个很easy的乘积求导这里不再赘述。b.用化简同理但这里是x关于t的显函数表达式因此不像前面那个还需要反函数求导二阶求导时别迷糊这里还有复合函数求导。四.寻找不可导点可导要求在该点处连续并且左导数等于右导数因此无非就是破坏这俩条件的至少一个要么直接不连续要么左右导数至少有一个不存在或者左右导数不相等对于考研数二的范畴来说不可导点一般出现在下列常见位置无定义点函数在该点无定义当然不可导边界点闭区间端点只存在单侧导数通常说不可导除非题目要求单侧可导分段点分段函数常见分段处极易不可导角点/尖点函数连续但左右导数存在且不相等斜率突变切线垂直X轴点函数连续但导数趋于无穷即切线垂直于x轴部分不连续点跳跃、无穷、振荡间断等必然不可导五.某点处可导确定参数首先用连续的性质然后两侧分别求导代入即可。不一定非要用定义法其他的一些易错警示极值点和拐点同时存在一点则该点处不可导狄利克雷函数x为无理数则y为0否则为1。因此处处不连续处处不可导处处极限不存在。