2025/8/7：数学中的卷积完成。2025/8/31：Mark E.J. Newman，美国密歇根大学。三角函数、复数、新理解卷积和傅里叶。傅里叶应该单独学，而不是夹在信号与系统里。学完傅里叶之后，再应用到信号与系统、自动控制原理、图像处理等课程中。信号与系统的另一个重要内容是基本信号的响应，基本信号结合傅里叶形成复杂信号，再谈响应。2025/9/18：“例5 高效的FFT”完成。还缺《数值分析》拉格朗日插值。概率论xxx线性代数第一章n阶行列式与克莱默法则：用n阶行列式求解n元方程组。第二/三章矩阵与线性方程组。矩阵的秩与方程组的解。第四章向量组的线性相关性。向量空间、超平面。第五章相似矩阵和二次型。内积、范数、正交。第六章线性空间：向量空间的概念是集合与运算二者的结合，一般的说，同一个集合，若定义两种不同的线性运算，就构成不同的向量空间；若定义的运算不是线性运算，就不能构成向量空间。所以，所定义的线性运算是向量空间的本质，而其中的元素是什么倒并不重要。由此可以说把向量空间叫做线性空间更为合适。统计学xxxx数值分析又名“计算方法”，是面向计算机的应用计算课，核心是设计可被计算机执行的算法，在允许可控误差的前提下求出问题的‌近似解‌，重点关注算法的收敛性、稳定性和误差分析。第一章 引言。数值分析是研究数值问题的算法，概括起来有四点：面向计算机，算法只能包括加、减、乘、除运算和逻辑运算有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省计算时间，空间复杂性好是指节省存储空间要通过数值试验证明算法误差计算过程中不增长，则算法是数值稳定。如果输入数据有微小扰动(即误差)，引起输出数据(即问题解)相对误差很大，这就是病态问题。第二章 插值在函数f(x)两个点之间插入多个点，插入要求是既能反映函数f(x)的特性，又便于计算的简单函数。即插值函数P(x)。应用举例：用计算机程序控制加工机械零件，控制每步走刀。P(x)举例：最简单的多项式插值其次拉格朗日插值。但节点增减时，计算要全部重新进行为了计算方便设计一种逐次生成插值多项式的方法，牛顿均差插值插值多项式在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上导数值相等甚至高阶导数值也相等，即埃尔米特插值多项式一般总认为插值函数的次数越高，逼近f(x)的精度越好，但实际上并非如此，这是因为对任意的插值节点，当n→∞时,Ln(x)不一定收敛于f(x)。因而不用高次插值，而用分段低次插值分段低次插值函数都有一致收敛性，但光滑性较差，对于像高速飞机的机翼形线、船体放样等型值线往往要求有二阶光滑度，即有二阶连续导数。早期工程师制图时，把富有弹性的细长木条（所谓样条）用压铁固定在样点上，在其他地方让它自由弯曲，然后延木条画下曲线称为样条曲线。样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念，最常用三次样条插值函数。在微积分问世以后，插值法被作为一种逼近函数的构造方法，是函数逼近、数值微积分和微分方程数值解的基础。拉格朗日插值是利用基函数方法构造的插值多项式，在理论上较为重要，但计算不太方便。基函数方法是将插值问题划归为特定条件下容易实现的插值问题，本质上是广义的坐标系方法。牛顿插值多项式计算上较为方便，是求函数近似值常用的方法，尤其是等距节点的差分插值公式最为常用。带导数条件的埃尔米特插值主要掌握构造插值多项式的方法及其余项表达式。由于高次插值存在龙格现象，它没有实用价值，通常使用分段低次插值，特别是三次样条插值，它具有良好的收敛性与稳定性，又有二阶光滑度，理论上和应用上都有重要意义，在计算机图形学中有重要应用。插值软件一般包含两个程序，一个用于计算插值多项式，另一个用于计算其在任意点或点集上的值。第一个程序的输入数据包括数据点的个数及两个一维数组，分别存储自变量及其对应的函数值，第二个程序输入数据包括需要求值的一个或多个变量的值，输出相应求值点上的函数值。通常可用 MATLAB软件中多项式插值( polyfit)，样条插值( spline)，样条函数赋值(ppval)。第三章 函数逼近和快速傅里叶变换FFT函数逼近是用简单函数逼近复杂函数的问题，是数值分析的基础。考察逼近函数的标准是在某种意义下误差最小。本章讨论用多项式、有理函数和三角多项式逼近数据和函数：多项式逼近。着重介绍最佳平方逼近，当被逼近函数可以在任意自变量下计算时（连续），这些逼近就是在整个区间上误差平方和积分，但多项式最佳一致逼近计算困难正交多项式中的勒让德多项式和切比雪夫多项式是两个十分重要且经常使用的正交多项式。当一个函数由给定的一组可能不精确表示函数的数据来确定时（离散），使用最小二乘的曲线拟合是最合适的，它是离散点的最佳平方逼近，当模型为多项式时其法方程是病态的，为此推荐用点集正交化方法可避免解法方程，是目前计算机上常用的算法有理逼近是函数逼近的重要组成部分，本章只介绍帕德逼近如果数据是周期的，使用三角最小二乘或三角插值是合适的，计算用快速傅里叶变换(FFT)，它是节省计算量的一个范例。本章介绍的算法是它的一种改进，比原始算法节省一半计算量。第四章 数值积分与数值微分积分和微分是两种分析运算，它们都是用极限来定义的。数值积分和数值微分则归结为函数值的四则运算，从而使计算过程可以在计算机上完成处理。数值积分和数值微分的基本方法是逼近法：设法构造某个简单函数P(x)近似f(x)，然后对P(x)求积(求导)得到f(x)的积分(导数)的近似值。本章基于插值原理推导了数值积分和数值微分的基本公式。建立求积公式的另一途径是利用代数精度定义，通过解方程得到求积系数。早在1676年牛顿就提出了基于等距节点的插值求积方法，1743年辛普森提出的复合辛普森求积公式一直是计算积分近似值的重要方法，直到1955年由龙贝格利用理查森外推得到了龙贝格求积方法，使等矩节点求积精度进一步提高，龙贝格方法是目前计算机上求积的重要方法，针对被积函数变化不均匀的自适应方法也是以此为基础给出的。另一类不等距节点的求积公式是1814年由高斯首先提出的具有最高代数精度的高斯求积公式，它精度高，稳定性好，还可计算某些奇异积分，是一类减少计算函数值的好方法。数值积分的软件在 MATLAB库中有quad(一维)及dBlquad(二维)。对数值微分可用diff。第五章 解线性方程组的直接方法解线性方程组的直接方法，使用有限步算术运算即可求得方程组的精确解，且仅受舍入误差影响，为减少舍入误差，通常推荐列主元消去法，它减少了舍入误差影响而不增加太多的额外计算。经典的高斯消去法是1810年提出的，它稍作修改产生矩阵的LU分解，则是20世纪40年代才提出的。当A非奇异时只要对A做行置换，总可使PA=LU，其中P为行置换矩阵，利用它求解线性方程组相当于列主元消去法，它的好处是具有相同系数矩阵A的不同向量b的线性方程组Ax=b可节省工作量，当矩阵A对称正定时可用分解的平方根法或改进平方根法，它是计算稳定的。追赶法是解三对角方程组的有效方法，它具有计算量少，方法简单且计算稳定等优点。关于矩阵条件数，病态方程组及算法稳定性也是很重要的，但本章只做简单介绍。求解线性方程组Ax=b的软件包主要来自 LINPACK和 LAPACK，它们中许多子程序都可用 MATLAB实现，它比传统软件求解简单，命令x=A\b是通过LU分解求得线性方程组的解，也可通过lu函数单独计算LU分解，[L,U]=lu(A)，如果A对称正定，可通过L=chol(A)得到分解。第六章 解线性方程组的迭代法考虑线性方程组Ax=b，其中A为非奇异矩阵。当A为低阶稠密矩阵时，第5章所讨论的选主元消去法是解此方程组的有效方法。但是，对于由工程技术中产生的大型稀疏矩阵方程组：A的阶数n很大，但零元素较多，例如求某些偏微分方程数值解所产生的线性方程组，n≥10^4，利用迭代法求解线性方程组是合适的。在计算机内存和运算两方面，迭代法通常都可利用A中有大量零元素的特点。迭代法就是逐步带入求近似解，包括雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法、超松弛迭代法和共轭梯度法。第七章 非线性方程及方程组的数值解法本章着重介绍求解单变量非线性方程f(x)=0的迭代法及其理论。不动点迭代、局部收敛性及收敛阶等基本概念，很容易推广到非线性方程组。在迭代法中以牛顿法最实用，它在单根附近具有二阶收敛，但应用时要选取较好的初始近似才能保证迭代收敛。为克服这一缺点，可使用牛顿下山法。斯特芬森方法可将一阶方法加速为二阶。弦截法(或称割线法)与抛物线法(也称密勒法)是属于插值方法，它们不用算f(x)的导数，又具有超线性收敛，这类方法是多点迭代法，它不同于单点迭代，计算时必须给出两个以上的初始近似。求解单个方程f(x)=0的软件一般要提供函数值f的程序名和误差限及迭代过程判停准则，初始近似或有根区间[a,b]。在 MATLAB中用 fzero计算出初值附近的一个根，而函数roots则用于计算多项式全部零点。非线性方程组解法本章只介绍最基础的方法，其中牛顿迭代法是最常用最重要的方法，很多新方法是以它的变型或改进得到的，如拟牛顿法及Broyden法。求解非线性方程组的库中为函数fsolve。第八章 矩阵特征值计算A∈R为非奇异矩阵，则存在正矩阵Q与上三角矩阵R，QR分解A=QR，舒尔分解。利用圆盘定理给出特征值的大致估计是很必要的，对特征值的扰动分析本章只给出最基本概念和简单情形的分析。关于特征值计算本章只给出较常用的两种方法，即幂法、反幂法及QR算法。前两种为迭代法，只求模最大与模最小的特征值及特征向量；最后一种是变换法，可求全部特征值。幂法计算简单，适用于稀疏情形，但收敛速度往往不能令人满意，使用时可结合反幂法及位移技巧等手段加速收敛。本章着重介绍正交变换（豪斯霍尔德变换和吉文斯变换），它是简化矩阵和QR分解的有力工具。将矩阵变换为上海森伯格矩阵，然后用QR方法求全部特征值，是计算中小型矩阵特征值十分有效的方法。关于对称矩阵的特征值计算除本章给出的QR方法和瑞利商加速外还有很多方法，如古老的雅可比方法，兰乔斯方法以及较新的分而治之法。特征值计算在MATLAB中的函数为[V,D]=eig(A)，可以得到一个矩阵A的特征值和完备的特征向量矩阵，并分别存放于对角矩阵D和矩阵V中。第九章常微分方程初值问题数值解法科学技术中很多问题都可用常微分方程的定解问题来描述，主要有初值问题与边值问题两大类。本章只考虑初值问题。常微分方程初值问题中最简单的例子是人口模型：设某特定区域在t。时刻人口y(t。)=y。为已知的，该区域的人口自然增长率为A，人口增长与人口总数成正比，所以t时刻的人口总数y(t)满足微分方程。很多物理系统与时间有关，从卫星运行轨道到单摆运动，从化学反应到物种竞争都是随时间的延续而不断变化的。常微分方程是描述连续变化的数学语言。微分方程的求解就是确定满足给定方程的可微函数y(t)，研究它的数值方法是本章的主要目的。虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程，实际问题中归结出来的微分方程主要靠数值解法。所谓数值解法，就是寻求解y(x)在一系列离散节点x1x2…xn…上的近似值y1,y2,…,yn,…相邻两个节点的间距h称为步长。本章首先要对常微分方程离散化，建立求数值解的递推公式。一类是计算yn+1时只用到前一点的值yn，称为单步法。另一类是用到yn+1前面k点的值，称为k步法。其次，要研究公式的局部截断误差和阶，数值解与精确解的误差估计及收敛性，还有递推公式的计算稳定性。在求解微分方程组时，经常出现解的分量数量级差别很大的情形，这给数值求解带来很大困难，这种问题称为刚性问题(stiff)。刚性问题在化学反应、电子网络和自动控制等领域中都是常见的。比如一个解：。求刚性方程数值解时，若用步长受限制的方法就将出现小步长计算大区间的问题，因此最好使用对步长h不加限制的方法，如欧拉后退法及梯形法。本章研究求解常微分方程初值问题的数值方法，1768年欧拉首先提出了解初值问题的欧拉法，为提高阶数龙格(1895)，Heun(1900)和库塔(1901)提出了龙格-库塔法，它是基于泰勒展开形成的单步方法。1883年由阿当姆斯基于数值积分得到的阿当姆斯外插与内插方法是一种多步法，这是构造数值方法的另一途径，但通常利用泰勒展开的构造方法更具一般性，且它在构造多步法公式时可同时得到公式的局部截断误差。由于四阶显示龙格-库塔方法精度高且是自开始的，易于调节步长，且计算稳定，因此是计算机中数学库常用的算法。它的不足之处是计算量较大，且当f(x,y)的光滑性较差时，计算精度可能不如低阶方法。多步法和由它们形成的预测一校正公式，通常每步计算量较少，但它不是自开始的，需要借助四阶龙格一库塔法提供开始值。对数值方法的分析涉及局部截断误差、整体误差、相容性、收敛性和稳定性等概念，特别是绝对稳定性的讨论涉及计算中步长h的选取，本章主要针对单步法进行理论证明，对多步法则只给出相应概念和结论。关于数值方法稳定性理论是20世纪50年代由 Dahlquist研究得到的，本章有关的内容可参看吉尔(Gear)1971年的重要著作。刚性方程组是具有重要应用价值的问题，具体求解有一定困难。求常微分方程初值问题数值方法的软件在 MATLAB数学库中都有龙格-库塔法，阿当姆斯方法和解刚性方程组的子程序，它们都是针对m个变量的m个一阶方程的方程组，使用时要提供计算任意点x,y上函数值的程序名f，并输入方程个数m，初始值x0,y0和自变量计算到xn的值以及误差限。PRML中文版_模式识别与机器学习Pattern Recognition and Machine Learning1 绪论 1.1例子：多项式曲线拟合 1.2概率论 概率密度 期望和协方差 贝叶斯概率 高斯分布 重新考察曲线拟合问题 贝叶斯曲线拟合 1.3模型选择1.4维度灾难1.5决策论 最小化错误分类率 最小化期望损失 拒绝选项 推断和决策 回归问题的损失函数1.6信息论 相对熵和互信息2 概率分布 2.1二元变量 Beta分布2.2多项式变量 狄利克雷分布 2.3高斯分布 条件高斯分布 边缘高斯分布 高斯变量的贝叶斯定理 高斯分布的最大似然估计 顺序估计 高斯分布的贝叶斯推断 学生t分布 周期变量 混合高斯模型 2.4指数族分布 最大似然与充分统计量 共轭先验 无信息先验 2.5非参数化方法 核密度估计 近邻方法3 回归的线性模型 3.1线性基函数模型 最大似然与最小平方 最小平方的几何描述 顺序学习 正则化最小平方 多个输出 3.2偏置·方差分解 3.3贝叶斯线性回归 参数分布 预测分布 等价核 3.4贝叶斯模型比较 3.5证据近似 计算证据函数 最大化证据函数 参数的有效数量 3.6固定基函数的局限性4 分类的线性模型 4.1判别函数 二分类 多分类 用于分类的最小平方方法 Fisher线性判别函数 与最小平方的关系 多分类的Fisher判别函数 感知器算法 4.2概率生成式模型 连续输入 最大似然解 离散特征 指数族分布 4.3概率判别式模型 固定基函数 logistic回归 选代重加权最小平方 多类logistic回归 probit回归 标准链接函数 4.4拉普拉斯近似 模型比较和BIC 4.5贝叶斯 logistic回归 拉普拉斯近似 预测分布5 5.1前馈神经网络 权空间对称性 5.2 网络训练 参数最优化 局部二次近似 梯度下降最优化 5.3误差反向传播误差函数导数的计算 反向传播的效率 Jacobian矩阵 5.4 Hessian矩阵 对角近似 外积近似Hessian矩阵的逆矩阵 有限差 Hessian矩阵的精确计算 Hessian矩阵的快速乘法 5.5神经网络的正则化 相容的高斯先验 早停止 不变性 切线传播 用变换后的数据训练 卷积神经网络 软权值共享 5.6混合密度网络 5.7贝叶斯神经网络 后验参数分布 超参数最优化 用于分类的贝叶斯神经网络6 核方法 6.1对偶表示 6.2构造核 6.3径向基函数网络 Nadaraya- Watson模型 6.4高斯过程 重新考虑线性回归问题 用于回归的高斯过程 学习超参数 自动相关性确定 用于分类的高斯过程 拉普拉斯近似 与神经网络的联系7 稀疏核机 7.1最大边缘分类器 重叠类分布 与 logistic回归的关系 多类SVM 回归问題的SVM 计算学习理论 7.2相关向量机 用于回归的RVM 稀疏性分析 RVM用于分类8 图模型 8.1贝叶斯网络 例子:多项式回归 生成式模型 离散变量 线性高斯模型 8.2条件独立 图的三个例子 d-划分 8.3马尔科夫随机场 条件独立性质 分解性质 例子:图像去噪 与有向图的关系 8.4图模型中的推断 链推断 树 因子图 加和乘积算法 最大加和算法 一般图的精确推断 循环置信传播 学习图结构9 混合模型和EM 9.1 K均值聚类 图像分割与压缩 9.2混合高斯 最大似然 用于高斯混合模型的EM 9.3EM的另一种观点 重新考察高斯混合模型, 与K均值的关系 伯努利分布的混合 贝叶斯线性回归的EM算法 9.4一般形式的EM算法10 近似推断 10.1变分推断 分解概率分布 分解近似的性质 例子:一元高斯分布 模型比较 10.2例子:高斯的变分混合 变分分布 变分下界 预测概率密度确定分量的数量 诱导分解 10.3变分线性回归 变分分布 预测分布 下界 10.4指数族分布 变分信息传递 10.5局部变分方法 10.6变分logistic回归 变分后验概率分布 最优化变分参数 超参数的推断 10.7期望传播 例子:聚类问题 图的期望传播11 采样方法 11.1基本采样算法 标准概率分布 拒绝采样 可调节的拒绝采样 重要采样 采样-重要性-重采样 采样与EM算法 11.2马尔科夫链蒙特卡罗 马尔科夫链 Metropolis-hastings算法 11.3吉布斯采样 11.4切片采样 11.5混合蒙特卡罗算法 动态系统 混合蒙特卡罗方法11.6 估计划分函数12 连续潜在变量 12.1主成分分析 最大方差形式最小误差形式 PCA的应用 高维数据的PCA 12.2概率PCA 最大似然PCA 用于PCA的EM算法 贝叶斯PCA 因子分析 12.3核PCA 12.4非线性隐含变量模型 独立成分分析 自关联网络 对非线性流形建模13 顺序数据 13.1马尔科夫模型 13.2隐马尔科夫模型 用于HMM的最大似然法 前向后向算法 用于HMM的加和乘积算法 缩放因子 维特比算法 隐马尔科夫模型的扩展 13.3线性动态系统 LDS中的推断 LDS中的学习 LDS的推广 粒子滤波14 组合模型 14.1贝叶斯模型平均 14.2委员会 14.3提升方法 最小化指数误差 提升方法的误差函数14.4基于树的模型 14.5条件混合模型 线性回归模型的混合 14.6logistic模型的混合专家混合数学分析是数学专业的核心基础理论课，聚焦函数的连续性、可微性、可积性等内容，强调严格的逻辑证明和理论推导，目标是求出理论层面的‌精确解‌。数学分析到底想告诉我们什么？_bilibili数学分析。实分析、复分析、矢量分析、张量分析、泛函分析、调和分析、随机分析、凸分析。莱布尼茨提出“无穷小量”dx→0，微积分的基础。但微积分求导时分子dx不能为0。实分析诞生于第二次数学危机。现代分析学之父魏尔斯特拉斯提出ε-δ语言，数学分析里用来严格定义极限，把"无限接近"这种模糊说法变成能精确验证的逻辑关系 。‌‌ε代表你想要的精度（函数值能有多接近极限值），δ代表自变量需要控制在多小的范围内 。‌核心定义‌：对于任意给定的ε0，总能找到一个δ0，使得当自变量 x 与目标点 a 的距离小于δ时，函数值 f(x) 与极限值的距离就小于ε。狄利克雷dirichlet函数。有理数时为1，无理数时为0。它无法积分、无法分段积分、无法在极小邻域里积分。于是数学家们只好把数学的所有结构都删除掉，回到一个完全没有结构的空间中，建立起了集合论。在集合论的基础上加入拓扑结构，用开集和开覆盖解释连续性，用点映射定义函数，用测度定义距离，他们都属于实分析。狄利克雷的问题解决。复分析。现代复分析把复变函数看成空间变形，复变函数把输入点移动位置到输出点。著名的3个例子，第一欧拉公式把实数轴变为单位圆。第二傅里叶公式在欧拉公式基础上，把别的函数在绑在欧拉公式上旋转，从而得到那个函数的频谱分析。第三洛朗级数和留数定理，洛朗级数是泰勒展开的进阶版。矢量分析。如果把复数看作二维矢量，那么复函数就是二维→二维，推广到n维→m维，对某个函数，输入n维输出m维，就是“矢量场”。输入的就是这个点的坐标，输出的就是这个点的矢量，就画出了“流”。张量分析是广义相对论和量子力学的数学基础。数学基本公式三角函数徒手绘制三角函数。如图，一个点在单位圆上运动，绘制它的运动规律曲线。将点位置在单位圆竖轴上的投影作为曲线y轴。将点位置运动过的角度作为曲线x轴。运动的快慢影响曲线向前传播的速度，不改变波形。三角函数的相位如图，蓝色sin幅度29，黄色cos幅度32，他们的频率相同，相位都为0。问：这两个函数相加后得到什么？答：一个移相的同频三角函数。从三角形入手。正弦就是角θ的对边，长度为29；余弦就是角θ的邻边，长度为32。那么通过反正切函数tan求出角θ的值，这个角θ就是相加得到的三角函数的相位。注意，原始sin和cos的相位为0。另外，相加后的幅值，就是三角形斜边长勾股定理求得。辅角公式：或三角函数的正交性前提，sin和cos的频率f=1/2L的整数倍，且相位均为0。。不同频率的任意sin或cos相乘，2L周期内积分结果是0。同频率的sin、同频率的cos相乘，2L周期内积分，结果等于它的周期的一半。用积化和差公式可证明。积化和差。和差化积。复数和欧拉公式欧拉，瑞士人，是约翰伯努利的学生。伯努利家族（Bernoulli）17〜18世纪瑞士的一个出过数理科学家多人的家族，原籍比利时安特卫普。1583年遭天主教迫害迁往德国法兰克福，最后定居瑞士巴塞尔。其中以雅各布（哥哥）、约翰、丹尼尔（儿子）三人的成就最大。雅各布。数学。例如悬链线问题，曲率半径公式，“伯努利双纽线”，“伯努利微分方程”，“等周问题”，“伯努利数”、“伯努利大数定理”等。最重大的贡献是概率论。约翰。培养数学家欧拉，“克莱姆法则”克莱姆，法国数学家洛必塔等。牛顿与莱布尼茨爆发了激烈的微积分争夺战，伯努利兄弟皆是莱布尼茨的学生。约翰在微积分领域做出了大量成果。“最速降线问题”是变分法的标志（变分法的关键定理是欧拉-拉格朗日方程。对应于泛函的临界点），在斜面上，有一条直线和一条曲线，曲线的小球先到终点。这是由于曲线轨道上的小球先达到最高速度。然而，哪一条曲线最快？伽利略于1630年提出问题，他认为是圆弧，错误。1696年约翰卷积这条最速降线是一条摆线。摆线（Cycloid）又称旋轮线、圆滚线，数学中定义：圆沿直线运动时，圆边界上一定点所形成的轨迹。性质：任意一点上切线和铅垂线所成的角度的正弦与该点落下的高度的平方根的比是常数。当θ由0变到2π时，动点就画出了摆线的一支，称为一拱。丹尼尔。理想流体能量守恒定律。在理想条件下，同一流管的任何一个截面处，单位体积流体的动能、势能、压力势能之和是常量。即伯努利方程：。著名的推论为：等高流动时，流速越大，压强越小。伯努利方程可以分别由牛顿第二定律以及能量守恒定律推导。如图，ab截面等高，a处截面小、流速大、压强小，所以C管水位升高。D管水位降低。很多实验例子。“奥林匹克号”被撞事件（船吸现象）；球类比赛中的“旋转球”；地铁站台的安全线；刮风掀翻屋顶；发动机的化油器（喷雾器）；文丘里流量计。自然底数e其历史可追溯至17世纪雅各布·伯努利对复利问题的研究，后由欧拉系统化并命名。e的严格数学定义为：，约等于2.71828。‌复利模型与伯努利的贡献‌。雅各布·伯努利在1683年研究连续复利时发现，当复利周期无限细分时，年收益趋近于一个固定值，r为利率。具体做法是：假设年初存入1元，年利率100%，假如把年利率摊开成n份计算年收益，公式为，他发现，无论n有多大，最终年收益趋近于2.7。‌欧拉的数学化与命名‌。莱昂哈德·欧拉在18世纪首次系统研究e的性质，证明了其是无理数，并推导出指数函数的导数等于自身。符号“e”取自欧拉姓氏首字母。‌‌‌早期应用与完善‌。1618年，约翰·纳皮尔在对数表中隐含了e的雏形；1690年莱布尼茨在信中首次提及该常数。‌‌‌数值‌：泰勒级数展开，当x=1时，。‌‌‌唯一性：指数函数是唯一导数等于自身的函数，这一特性使其在微积分中具有核心地位。‌‌欧拉公式由上文泰勒级数展开，同样可以展开sinx和cosx：：：：可以看出三角函数和的关系，相加后项数一样，偶数项的正负号相反。于是，欧拉发明了公式：。虚数“ i ”诞生。特别的，当x=π时，。复数本质是两个向量的和。实轴向量和虚轴向量，幅值为向量系数，夹角是合成后向量的相位。实轴和虚轴向量又可以看成是相位为0的cos和sin。3种表示形式。如图。笛卡尔坐标、极坐标、指数坐标。笛卡尔坐标。3+4i。极坐标。它是一种向量表示方法，用一个点的坐标和该点到原点的距离描述。在复平面上，坐标可以用三角函数的形式表示，横坐标cos纵坐标sin，值为向量和实轴的夹角θ。如图。再结合欧拉公式，又可以用指数形式表示坐标。如图。指数坐标可以看出合成后的向量的点乘与叉乘物理意义。点乘。比如人推箱子，用力的方向是向量a，箱子移动的方向是向量b。a和b平行时，力最大。a垂直b时，根本没有作用力。叉乘。比如计算扭矩，遵循右手定则。泰勒公式如果f(x)在包含的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数，则对于任何在(a,b)间x，f(x)按的幂展开的n阶泰勒公式：其中余项，介于x和x0之间。当x0=0时，麦克劳林公式：对数和幂如果a的x次方等于N（a0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x=logaN。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。自然对数是以无理数e为底的对数，记为lnN。以10为底的对数，记为lgN。算法中的数学算法-复杂度认识- 知乎和样本数据量无关，固定完成的操作，叫做常数操作。时间复杂度是常数操作的一个指标。用O表示。表达式中，只要高阶项，不要低阶项，也不要高阶项的系数。评价算法流程的好坏，先看时间复杂度，再分析不同数据样本的实际运行时间。不同样本在不同复杂度表现不一。常见复杂度：O(1)、O(logN)、O(N)、O(NlogN)、O(N^2) ...O(N^K)、O(2^N)...O(K^N)、O(N!)。O是算法的最坏情况运行时间的上界。O(logN)中的log忽略底数描述。原因：假如有两个算法的时间复杂度分别是和，易证明。其中是常数可忽略。那么。除了O，还有其他算法复杂度表示。比如函数渐进阶，记号 O、Ω、θ、 o，和Master 定理。卷积 convolution从数学看，卷积是一种反映两个序列或函数之间的运算方法。从信号